Law of Large Numbers
Visualizzazione interattiva della Legge dei Grandi Numeri.
X̄ₙ = (X₁+…+Xₙ)/n → μ as n → ∞
0.30
8
500
Medie campionarie X̄ₙ Media teorica μ Banda ±2σ/√n
μ teorica
—
σ teorica
—
X̄ finale (media K)
—
Banda a nmax
—
LGN debole
X̄ₙ →ₚ μ
P(|X̄ₙ − μ| > ε) → 0
X̄ₙ →ₚ μ
P(|X̄ₙ − μ| > ε) → 0
LGN forte
X̄ₙ → q.c. μ
P(lim X̄ₙ = μ) = 1
X̄ₙ → q.c. μ
P(lim X̄ₙ = μ) = 1
Tasso di convergenza
Banda: ±2σ/√n
Var(X̄ₙ) = σ²/n (dal TLC)
Banda: ±2σ/√n
Var(X̄ₙ) = σ²/n (dal TLC)
Condizione
X₁,...,Xₙ i.i.d.
E[X] = μ < ∞
X₁,...,Xₙ i.i.d.
E[X] = μ < ∞
Come leggere il grafico: Ogni curva è un percorso della media campionaria X̄ₙ al crescere di n. La linea gialla è la media teorica μ. La banda blu è ±2σ/√n: si restringe come 1/√n. Tutti i percorsi convergono verso μ — questa è la LGN in azione. Prova con K=15 e Esponenziale(λ=0.3) per vedere come distribuzioni asimmetriche convergono comunque alla stessa media.